Դեկտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբի որոշ խնդիրների լուծումներ

Մաթեմատիկայի դեկտեմբերյան ֆլեշմոբ

Երկրորդ մակարդակ

5. Շախմատի մրցաշարին մասնակցում էր վեց շախմատիստ։ Քանի՞ պարտիա կայացավ, եթե յուրաքանչյուր շախմատիստ մնացած շախմատիստների հետ խաղաց միայն մեկ խաղ։ 

Լուծում

6 շախմատիստներին պատկերենք շրջանների տեսքով, ինչպես ցույց է տրված նկարում։ Որպեսզի հաշվելիս կրկնություններից խուսափենք, ապա գունավոր գծերով ցույց տանք, թե յուրաքանչյուր շախմատիստ քանի խաղ խաղաց մնացածի հետ։ Հաշվելով գունավոր գծերի քանակը՝ կգտնենք, թե քանի պարտիա կայացավ․ 15 պարտիա։

Պատասխան՝ 15։

10. Ձմեռ պապը երեխաներից ստացել է 220 նամակ։ Քանի՞ րոպե կպահանջվի Ձմեռ պապիկից բոլոր նամակները կարդալու համար, եթե նա 1 ժամում կարդում է 60 նամակ և յուրաքանչյուր նամանակ կարդում է նույն ժամանակահատվածում։

Լուծում

Քանի որ Ձմեռ պապիկը 1 ժամում կարդում է 60 նամակ և յուրաքանչյուր նամանակ կարդում է նույն ժամանակահատվածում, ապա հեշտ է նկատել, որ նա 1 նամակը կարդում է 1 րոպեում, քանի որ 1 ժամում կա 60 րոպե։ Հետևաբար 220 նամակը կկարդա 220 րոպեում։

Պատասխան՝ 220։

Երրորդ մակարդակ

3. Հեքիաթի աշխարհում կա երեք հերոս՝ Ալեքսը, Բենը և Քոդին։ Նրանցից մեկը ասպետ է, մեկը՝ խաբեբա, մեկը՝ լրտես։ Ասպետը միշտ ճշմարտությունն է ասում, խաբեբան՝ միշտ ստում, իսկ լրտեսը կարող է կա՛մ ստել, կա՛մ ասել ճշմարտությունը։ Ալեքսն ասում է. «Քոդին խաբեբա է»։ Բենն ասում է. «Ալեքսը ասպետ է»։ Քոդին ասում է. «Ես լրտեսն եմ»։ Ո՞վ է ասպետը, ո՞վ է խաբեբան և ո՞վ է լրտեսը։

Լուծում

Ենթադրենք Քոդին լրտեսն է, ապա ստացվում է, որ Ալեքսը խաբեբա է, իսկ Բենը ասպետ։ Սակայն եթե Բենը ասպետ է և ասում է, որ «Ալեքսը ասպետ է» ապա խաբում է, ստացվում է, որ կամ Բենը ստում է, կամ էլ Ալեքսը ասպետ է։ Եթե Ալեքսը ասպետ է, ապա ճիշտ է, որ Քոդին խաբեբա է, հետևաբար Բենը լրտես է։

Պատասխան՝ Ալեքսը ասպետ է, Բենը լրտես է, Քոդին խաբեբա է։

5. Քանի՞ էջ ունի գիրքը, եթե էջերի համարակալումը սկսվում է մեկ թվանշանից և համարակալելու համար օգտագործվել 1095  թվանշան։

Լուծում

1-9 էջերը համարակալելու համար մեզ պետք կգա 9 թվանշան, 10-99 էջերը համարակալելու համար պետք կգա 180 թվանշան, միասին՝ 180+9=189 թվանշան։ 1095-189=906 թվանշան մնաց եռանիշ թվերով էջերը համարակալելու համար։ Որպեսզի գտնենք եռանիշ թվերով համարակալված էջերի քանակը, կատարենք հետևյալ գործողությունը․ 906:3=302 էջ։ Այսպիսով՝ գրքի էջերի քանակն է 302+189=491 էջ։

Պատասխան՝ 491 էջ։

Չորրորդ մակարդակ

3. Տրված է ABC ուղղանկյուն եռանկյունը (տես նկարը), ընդ որում AB=9, AC=12։  Գտեք եռանկյան ներսում գտնվող նույն շառավղով, դեղին շրջանների մակերեսների գումարը:

Լուծում

Եռանկյուն ABC-ից ըստ Պյութագորասի թեորեմի՝ BC²=AB²+AC²=81+144=225, BC=15:

Գծագրի վրա կատարենք լրացուցիչ կառուցումներ, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում։

Այսպիսով՝ MN=AP=NP=r, PQ=NO=r+r=2r:

Քանի որ միևնույն կետից շրջանագծին տարված շոշափողների հատվածները իրար հավասար են, ապա CQ=CR=x:

Այստեղից՝ AC=AP+PQ+QC=r+2r+x=3r+x=12:

Այժմ դիտարկենք գծագրի աջ մասը․ <QCR-ը նշանակենք α, => <QOR=180^o-α:

Եռանկյուն ABC-ից` cosα=AC/BC=12/15=4/5։

Եռանկյուն CQR-ից`
QR²=CQ²+CR²-2*CQ*CR*cosα
QR²=x²+x²-2*x*x*cosα
QR²=2x²-2*x*x*4/5
QR²=2x²-8x²/5=2x²/5

Եռանկյուն OQR-ից՝ QR²=OQ²+OR²-2*OQ*OR*cos(180^o-α)
QR²=r²+r²+2*r*r*cosα=2r²+2*r²*4/5=18r²/5

Այսպիսով՝ QR²=2x²/5=18r²/5
x²=9r²
x=3r

Եռանկյուն ABC-ից՝ AC=3r+x=12
3r+3r=12
6r=12
r=2

S_շրջ=πr², 2S_շրջ=2πr²=2*4*π=8π:

Պատասխան` 8π: