3․ Միքայելն, Անին և Արշակը միաժամանակ սկսեցին մրցել 100մ երկարություն ունեցող ուղիղ վազքուղով։ Երբ Անին տեղ հասավ, Արշակը նրանից 10մ էր հետ, իսկ երբ Արշակը տեղ հասավ, Միքայելը նրանից 10մ էր հետ։ Քանի մետր էր Միքայելը հետ Անիից, երբ Անին տեղ հասավ։
Լուծում
Քանի որ, երբ Արշակը տեղ հասավ, Միքայելը նրանից 10մ էր հետ, կարելի է պնդել, որ Միքայելը Արշակից միշտ 10 մետր է հետ եղել։ Հետևաբար, երբ Անին տեղ հասավ և Արշակը Անիից 10 մետր էր հետ, ապա ստացվում է, որ Միքայելը Անիից հետ կլինի 10+10=20 մետր։
Պատասխան՝ 20։
9. Արսենը, Բաբկենը, Գագիկը, Դավիթը, Երվանդը և Զավենը զառ են գցում։ Յուրաքանչյուրի գցած թիվը տարբերվում է մնացածից։ Արսենի թիվը երկու անգամ մեծ Բաբկենի թվից։ Արսենի թիվը երեք անգամ մեծ է Գագիկի թվից։ Դավիթի թիվը չորս անգամ մեծ է Երվանդի թվից։ Ի՞նչ թիվ է գցել Զավենը։
Լուծում
Զառի վրա պատկերված են 1-6 թվերը։ Առկա են հետևյալ պնդումները․
- Արսենի թիվը երկու անգամ մեծ Բաբկենի թվից (1)
- Արսենի թիվը երեք անգամ մեծ է Գագիկի թվից (2)
- Դավիթի թիվը չորս անգամ մեծ է Երվանդի թվից (3)
(1) և (2) պնդումներից ստացվում է, որ Արսենի գցած թիվը ինչ որ թվի կրկնապատիկն է և միաժամանակ մեկ այլ թվի եռապատիկ է։ Զառի վրա այդ թիվը 6-ն է, որը 3-ի կրկնապատիկն է և 2-ի եռապատիկը։ Այսպիսով՝ Արսենի գցած թիվը 6-ն է, Բաբկենինը՝ 3-ը, իսկ Գագիկինը՝ 2-ը։
Քանի որ զառի վրա չի կարող պատկերվել 6-ից մեծ թիվ, ապա (3)-րդ պնդումից հետևում է, որ Դավիթի թիվը 4-ն է, իսկ Երվանդինը՝ 1-ը։
Այսպիսով՝ Զավենի գցած թիվը 5-ն է։
Պատասխան՝ 5։
6. Մեկ տարվա ընթացքում երկու կովից ստացել են 8100 լիտր կաթ։ Հաջորդ տարի առաջին կովի կաթնատվությունն աճել է 15%-ով, իսկ երկրորդինը՝ 10%-ով, և այդ տարվա ընդհանուր կաթնատվությունը կազմել է 9100 լիտր կաթ։ Քանի՞ լիտր կաթ է տվել առաջին կովը առաջին և երկրորդ տարվա ընթացքում։
Լուծում
Առաջին տարում առաջին կովից ստացած կաթի քանակը նշանակենք x լիտր, իսկ երկրորդինը՝ y լիտր։ Առաջին տարվա ընթացքում երկու կովից ստացել են x+y=8100 լիտր կաթ:
Երկրորդ տարում առաջին կովից ստացած կաթի քանակը նշանակենք 1,15x լիտր, իսկ երկրորդինը՝ 1,10y լիտր։ Երկրորդ տարվա ընթացքում երկու կովից ստացել են 1,15x+1,10y=9100 լիտր կաթ։
x+y=8100-ից արտահայտելով y-ը կստանանք՝ y=8100-x: Ստացված արտահայտությունը տեղադրենք 1,15x+1,10y=9100 հավասարման մեջ։
Կստանանք՝ 1,15x+1,10(8100-x)=9100
1,15x+8910-1,10x=9100
0,05x=190
x=3800 լ, առաջին տարվա ընթացքում առաջին կովից ստացած կաթի քանակն է։ Այստեղից՝ երկրորդ տարվա ընթացքում առաջին կովից ստացած կաթի քանակն է 1,15x=4370 լ։
Այսպիսով՝ առաջին կովը առաջին և երկրորդ տարվա ընթացքում տվել է 3800+4370=8170 լիտր կաթ։
Պատասխան` 8170 լիտր։
8. Հետևյալ նկարից պարզել BCKN ներկված ուղղանկյան մակերեսը, եթե AB=BD=5, PD=5, BKQLPD վեցանկյան մակերեսը 21 է, իսկ NK=LQ, LP=AM=MN :
Լուծում
Գծագրում կատարենք ստորև ցուցադրված կառուցումը և նշանակումները․
LP=AM=MN=a
AM=MN=a, հետևաբար AMNC քառակուսի է և AC=NC=AM=a,
BCKN-ից՝ NC=KB=a:
AB=5, հետևաբար CB=5-a,
BD=5, LP=RD=a, հետրաբար BR=5-а:
SBKQLPD=SBKQR+SRLPD=a*(5-a)+5*a=21
5a-a2+5a=21
a2-10a+21=0
ըստ Վիետի թեորեմի՝ a=7, a=3: a-ն չի կարող 7 լինել, քանի որ 5-a հատվածի երկարությունը բացասական մեծություն կլինի, հետրաբար a=3 և 5-a=2։
SBCKN=a*(5-a)=3*2=6։
Պատասխան՝ 6։
3. Գտնել 111 ․ ․ ․ 11 (100 հատ 1-երից կազմված) թիվը 9-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը։
Լուծում
9-ի կարող են բաժանվել այն թվերը, որոնց թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։ Մեր թիվը կազմված է 100 հատ մեկերից, հետևաբար իր թվանշանների գումարը կլինի 100*1=100։ 100-ը կարող ենք ներկայացնել 99+1 գումարի տեսքով։ Այսպիսով նկատում ենք, որ 99-ը առանց մնացորդի կբաժանվի 9-ի, հետևաբար մեզ մնում է միայն գտնել, թե 1-ը 9-ի բաժանելու արդյունքում ինչ մնացորդ կստացվի, այն է՝ 1։
Այսպիսով՝ 100 հատ 1-երից կազմված թիվը 9-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը կլինի 1։
Պատասխան` 1:
Մաթեմատիկական բլոգ 